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向量的向量积的几何意义是什么（图形学系列——数学基础）

100次浏览     发布时间：2024-07-07 20:45:37    

什么是向量

指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段；箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

#三维直角坐标系

  • 直角坐标系也叫笛卡尔坐标系
  • 原本的二维坐标系（x，y 轴），再增加一个垂直的 z 轴
  • z 轴方向不同分成右手系和左手系

三维空间向量

#向量的表示

  • 二维

第一种是通常向量的表示，应该在数字的上方带一个箭头，用来区分向量，第二种是通过矩阵来表示，第三种是单位向量来表示。

  • 三维

可以组合三维中任意向量


#向量乘以常数

  • 向量乘以常数：向量乘以常数可以看到向量被成倍延长了；负数倍数会返过来：

#向量的长度

#线性组合

  • 二维

前提是两个向量不是平行的。

  • 三维

可以组合三维中任意向量

#单位圆

#弧度和角度

#极坐标

由极点（pole）和射线（ray）组成的坐标系。用（角度，射线长度）描述一个点 比如图中的（3, 60°）表示射线长3，从 0L 转动 60 度。

#极坐标系

由极点和射线构成极坐标系中点：

#三角函数的性质

#旋转

三角函数运算

  • cos(a + b) = cc - ss
  • sin(a + b) = cs + sc

#向量的叉乘

向量积也叫叉积，外积，它也是向量与向量的乘积，不过需要注意的是，它的结果是个向量。它的几何意义是所得的向量与被乘向量所在平面垂直，方向由右手定则规定，大小是两个被乘向量张成的平行四边形的面积。

向量积可以被定义为：

模长：（在这里 θ 表示两向量之间的夹角（共起点的前提下）（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。）

方向：a 向量与 b 向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。

也可以这样定义（等效）：向量积 |c|=|a×b|=|a||b|sin<a，b> 即 c 的长度在数值上等于以 a，b，夹角为 θ 组成的平行四边形的面积。而 c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面，c 的指向按右手定则从 a 转向 b 来确定。

计算矢量叉积是与直线和线段相关算法的核心部分。设矢量 P = (x1, y1)，Q = (x2, y2)，则矢量叉积定义为由(0, 0)、P1、P2 和 P1P2 所组成的平行四边形的带符号的面积， 即：P × Q = x1.y2 - y2.y1，其结果是一个标量，显然有性质 P × Q = -(Q × P) 和 P × (-Q) = -(P × Q)

向量外积的几何意义：

  • 在三维几何中，向量 P 和向量 Q 的外积结果是一个向量，有个更通俗易懂的叫法是法向量，该向量垂直于 P 和 Q 向量构成的平面。
  • 在 3D 图像学中，外积的概念非常有用，可以通过两个向量的外积，生成第三个垂直于 P，Q 的法向量，从而构建 X、Y、Z 坐标系。
  • 在二维空间中，外积还有另外一个几何意义就是：|a×b| 在数值上等于由向量 P 和向量 Q 构成的平行四边形的面积。

#2d 叉乘符号的含义

#3d 向量叉乘

#3D 叉乘的意义

  • 向量叉乘指向向量 a 和 b 的垂直方向
  • 值等于 a 和 b 形成的平行四边形面积
  • a、b 和 c 的叉乘是 a、b、c 形成的平行六面体体积
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