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矩阵公式口诀（矩阵就全部学完了！你都会了吗）

100次浏览     发布时间：2025-11-05 00:11:13    


我们在小学，初高中都学过逆运算，比如加减乘除法有逆运算，这些逆运算都是有关数字的逆运算。那么我们思考一下，矩阵是否也有逆运算呢？

注意：特别提醒，我们这里讨论的矩阵，都以n阶方阵为例子。

第一：逆矩阵的学习

对于n阶单位矩阵E以及同阶的方阵A，都有以下等式成立。

既：AnEn＝EnAn＝An

在这里，我们从乘法的角度出发，n阶单位矩阵E在同阶方阵中的地位和1在数中的地位有些类同。一个数a≠0的倒数a^-1可以用等式来表示，既a×a^-1＝1来表达。

根据相同方法，我们可以来看看逆矩阵的定义：

定义：n阶方阵A称为可逆矩阵，如果存在n阶方阵B，那么有AB＝BA＝E(这里的E称为n阶单位矩阵)。

要注意的是，上述情况中，如果根据矩阵的乘法法则，那么只有方阵才能满足以上等式。

其次就是，对于任意的n阶方阵A，适合该等式的矩阵B是唯一存在的。如果存在可逆矩阵，那么满足以下条件。

根据上面的内容，我们来了解一下，需要在哪些条件中，方阵A才是可逆的呢？如果方阵A真的可逆，应该怎么求A的逆矩阵A^-1呢？


要想解决上面提出来的两个问题，我们要首先了解一下伴随矩阵的概念：

定义：所谓的伴随矩阵，就是行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的矩阵，称为矩阵A的伴随矩阵。

注意：其中aij的代数余子式Aij位于第j行第i列。

我们再来看一下，矩阵A与矩阵A的伴随矩阵有哪些性质：这里我们主要讨论乘积关系。

所以说，根据上述的证明，我们可以将矩阵A和矩阵A的伴随矩阵表达出来，从而得到矩阵A的逆矩阵A^-1的具体求解方法。

我们来根据这个逆矩阵求解公式，用一个二阶方阵进行练习一下。

我以字母代替数字，以便大家更好理解，更直观的看清楚逆矩阵怎么计算的。

注意：若方阵A是可逆矩阵，则|A|≠0，此时我们可以看出，对于n阶方阵A与方阵B，如果满足等式AB＝E，那么A、B都是可逆矩阵，而且它们互为逆矩阵。

其中|A|≠0，称矩阵A为非奇异矩阵。

推断：如果有n阶方阵A、B可逆，那么A的逆矩阵，A的转置矩阵，A的数乘矩阵，存在以下关系。

以上推论很重要，大家一定要记下来，证明过程这里就不一一讲解，需要看过程的可以留言。

第二：分块矩阵的学习

对于分块矩阵，为什么要学习，学习分块矩阵的目的是什么？只有了解这些问题，大家学习才知道所以然。

原因说明：例子一、由于我们生活中会经常遇到很多条件限制，此时会经常遇到大型文件不知道怎么处理，如果处理不了就不能进行文件上传的问题，针对这些问题最好的解决方法 就是将文件进行分块，依次上传。

例子二、像生活中的家具拆装，也是用到了分块思想。

接下来我们一起看一看什么是矩阵的分块法，提出矩阵分块的意义何在？

概念：用一些横线和竖线将矩阵分为无数个小块，此时称该操作为对矩阵进行分块。其中每一个小块都称为矩阵的子块。进行矩阵分块过后，根据子块为元素的排列，得到的矩阵称为分块矩阵。

我们根据定义，来看一下分块矩阵的具体运算以及知识点。

一、分块矩阵的加法运算（要记住，矩阵相加要满足同型矩阵）

若矩阵A、B是同型矩阵，并且分块方法相同，那么就有如下条件成立。

简单理解，就是如果有两个矩阵存在相同分块，那么对应分块想加就可以啦。

二、分块矩阵的数乘（任意数λ存在）

此时存在以下关系成立，要注意的是，在运算时，数λ是和矩阵内的每一个元素都要相乘。

三、分块矩阵的乘法运算

一般情况，设A为m×l矩阵，B为l×n矩阵。

要注意的是，在进行乘法运算时，不能有元素空缺，必须满足每个都能一一对应。

四、分块矩阵的转置（分块矩阵不仅仅是形式上进行转置，并且每一个子块都要进行转置）

五、分块对角矩阵

概念：假设A是n阶矩阵，若满足以下条件，那么称A为分块对角矩阵。

1、A的分块矩阵只存在于对角线上有非零子块

2、其余子块都是零矩阵。

3、对角线上的子块都是方阵。

我们再来看一下，有关分块矩阵的性质都有哪些：

1、有关对角分块矩阵的乘法法则。

根据上述矩阵表述，有以下等式成立，则|A|＝|A1||A2|…|As|

2、分块逆矩阵的计算：

若|As|≠0，|A|≠0此时有以下情况成立。


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